Contoh Soal Pembuktian Himpunan – Objek-objek dalam sebuah grup disebut elemen, elemen, atau anggota. Penyajian himpunan: 1. Daftar (sebutkan semua anggota himpunan yang ada) Contoh 1: A = ; B = 2. Simbol baku (ditulis dengan huruf kapital) Contoh 2: N = himpunan bilangan asli = P = himpunan bilangan bulat positif = Z = himpunan bilangan bulat = Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan real C = himpunan bilangan kompleks Sri Noorhayati
Catatan: Aturan: ‘|’ Bagian di sebelah kiri simbol adalah ‘|’ mewakili elemen dari suatu himpunan. Di mana simbol berbunyi atau “|” Bagian di sebelah kanan simbol menunjukkan status. Semua ‘,’ dalam syarat keanggotaan dapat dibaca dalam syarat keanggotaan dan Contoh 3: A adalah himpunan bilangan bulat positif kurang dari 5 A = atau A = sama dengan A = Contoh 4: M = Pak Noorhayati
Contoh Soal Pembuktian Himpunan
4 himpunan(2) 4. Diagram Venn Contoh 5: Misalkan U = , A = dan B = . Diagram Venn: Pak Noorhayati
Matematika Diskrit Dr. Ing. Erwin Sitompul
5 Keragaman Banyaknya elemen A disebut keragaman himpunan A. Misalkan A adalah himpunan berhingga, maka jumlah elemen yang berbeda di A disebut kardinalitas himpunan A. Notasi: n(A) atau |A| Contoh 6: a. A = , A=, lalu |A| = 8b. B = , }, }, lalu |B| = 4c. B =, atau B = maka B = 8 d. T = , maka T = 5 e. A = , } }, maka A = 3 Pak Nurhayati
6 Himpunan kosong adalah himpunan tanpa elemen, atau himpunan yang kardinalitasnya = 0. Notasi: atau Contoh 7: (i) A = , maka |A| = 0 (ii) B = , lalu |B| = 0 (iii) E =, maka n(E) = 0 (iv) P =, maka n (P) = 0 (v) A =, n (A) = 0 Himpunan } juga dapat ditulis sebagai himpunan , }} } bukan himpunan kosong, karena memiliki satu elemen yaitu himpunan kosong. Pak Noorhayati
A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota B. B. dikatakan superset dari A. Notasi : A B Contoh 8 : A = dan B = maka B A jika A B maka Diagram Venn Format : Sri Noorhayati
8 Himpunan Setara Jika A = B dan setiap anggota A merupakan anggota B, begitu pula sebaliknya, setiap anggota B merupakan anggota A. A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak, maka A B. Notasi : A = B A B dan B Contoh 9: (i) Jika A = dan B = , maka A = B (ii) Jika A = dan B = , maka A = B (iii) Jika A = dan B = , maka A B Untuk tiga himpunan, A, B dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B dan C = C (b) Jika A = B, maka B = A (c) Jika A = B dan B = C, maka A = C Sri Nurhayati
Kumpulan Contoh Soal Bentuk Akar
Himpunan A disebut ekuivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal kedua himpunan itu sama. Keterangan: A ~ B A = B Contoh 10: A = dan B = , maka A ~ B karena A = B = 4 Pak Noorhayati
10 PENGGUNAAN SALING EKSKLUSIF Dua himpunan dikatakan saling lepas jika dan hanya jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Keterangan : A // B Diagram Venn : Contoh 11 : Jika A = dan B = , maka A // B Sri Noorhayati
11 Himpunan Pangkat Pangkat dari A adalah himpunan yang merupakan himpunan kosong dan semua subhimpunannya, termasuk himpunan A. Notasi: Jika P(A) atau 2A A = m, maka P(A) = Contoh 12. Jika A = , maka P(A) =, , } Contoh 13 Himpunan pangkat dari himpunan kosong P ( ) = , dan himpunan pangkat dari himpunan P() = }. Pak Noorhayati
Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang memuat anggota himpunan A dan B. Notasi : A B = Contoh : Jika A = dan B = , maka A B = Sri Noorhayati
Kumpulan Contoh Soal Induksi Matematika
Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A dan B. Notasi: A B = Contoh: Jika A = dan B = , maka AB = Sri Noorhayati
Komplemen himpunan A adalah himpunan yang memuat semua unsur semesta wacana yang tidak ada di A. Notasi : A= Contoh : Jika U = , A = , maka = Sri Noorhayati
Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A tetapi bukan anggota B. Selisih antara A dan B dapat dikatakan komplemen dari himpunan A terhadap himpunan B. Notasi : A – B = = A B Contoh : – = , tetapi – = Pak Noorhayati
Perbedaan skalabilitas antara set A dan B adalah set yang elemennya ada di set A atau set B, tetapi tidak keduanya. Keterangan: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A) Contoh: Jika A = dan B = maka AB = Sri Noorhayati
Contoh Soal Himpunan
Hasil kali Cartesius dari himpunan A dan B adalah himpunan yang semua elemennya merupakan pasangan terurut yang dibentuk oleh elemen pertama himpunan A dan elemen kedua himpunan B. Notasi: A B = Kardinalitas hasil kali Cartesian: A B = A B Contoh 20. (i) Misalkan C = , dan D = , maka C D = (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan real, maka A B = himpunan semua titik pada bidang
Catatan: Jika A dan B adalah himpunan berhingga, maka: A B = A . B Pasangan terurut (A, B) berbeda dengan (B, A), dengan kata lain (A, B) (B, A). Perkalian kartesius bukan komutatif jika A B B A, asalkan baik A maupun B tidak kosong. Pada Contoh 20(i) di atas, D C = C D. Jika A = atau B = , maka A B = B A =
A = Set makanan = B = Set minuman = Berapa banyak kombinasi makanan-minuman yang dapat dibuat dari dua set di atas? Jawab: A B = AB = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman, mis.
1. Pembuktian dengan diagram Venn Contoh 26. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C) dengan diagram Venn. Bukti: A (B C) (A B) (A C) Kedua garam Venn memberikan luasan yang sama. Buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C). Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang diwakili tidak terlalu banyak. Pendekatan ini menggambarkan fakta, bukan membuktikannya. Diagram Venn tidak dapat dianggap sebagai metode pembuktian formal yang valid.
Materi Himpunan Matematika
2. Bukti menggunakan tabel keanggotaan Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan: A (B C) = (A B) (A C). Bukti: Karena kolom A (B C) dan (A B) (A C) identik, A (B C) = (A B) (A C). A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C) 1
4. Pembuktian dengan definisi Dengan metode ini, proposisi himpunan tidak dibuktikan dalam bentuk analogi, melainkan dalam bentuk akibat. Biasanya subskrip memiliki subskrip ( atau ). Contoh. Misalkan A dan B adalah himpunan. A B = dan A (B C) maka A C. Buktikan! Bukti: Menurut definisi himpunan bagian, andaikan jika P Q dan untuk semua x P maka Q juga. x A. Menurut definisi himpunan bagian (B C) dan kemudian x juga (B C) Menurut definisi operasi umum (), x (B C) berarti x B atau x C. x A dan Karena A B = , x B oleh (I) dan (II) x C pasti benar. Karena x A juga berlaku untuk x C, dapat disimpulkan bahwa A C.
25 Soal latihan Dari 500 siswa tersebut, ada yang mengambil mata pelajaran MK aljabar, kalkulus, dan statistika dengan rincian sebagai berikut: Berapa peluang seorang siswa lulus tiga MK? Ambil aljabar tapi bukan kalkulus? Ambil statistik tetapi bukan aljabar? Hitung tapi bukan statistik? Aljabar 329 mahasiswa Statistika 186 mahasiswa Kalkulus 295 mahasiswa Aljabar
Contoh soal himpunan semesta, contoh soal himpunan kelas 7, contoh soal pembuktian induksi matematika, contoh soal himpunan penyelesaian, contoh soal himpunan kosong, contoh soal himpunan matematika kuliah, pembuktian teorema himpunan, contoh soal himpunan bagian, contoh soal himpunan utbk, contoh soal himpunan cpns, contoh soal himpunan pertidaksamaan, contoh soal pembuktian limit
